一道有趣的初赛题(1)

题目描述

已知一个数列$ U_1,U_2,U_3,…U_n,… $往往可以找到一个最小的$k$值和$ k $个数:$ s_1,s_2,…,s_k $,使得数列从某项开始都满足:

例如对斐波那契数列$1,1,2,3,5,…$可以发现:当$k=2,a_1=1,a_2=1$时,从第3项起(即$n\ge1$)都满足$U_{n+2}=U_{n+1}+U_n$。

试对数列$1^2,2^2,3^2,…,n^2,…$ 求$k$和$a_1,a_2,…,a_k$使得$(A)$成立。

大力枚举讨论

我们考虑枚举$k$

  • 当$k=1$时

    由题得:

    显然无解

  • 当$k=2$时
    由题得:

    显然无解

  • 当$k=3$时

    由题得:

    检验:

    综上所述:

严谨证明

考虑题目要求的本质上是这个方程:

等价于:

显然当该方程组有唯一解时,$k=3$

以上