《力学》笔记(2)

笔记(1)是一些分析力学的新内容和比较基础的东西,从笔记(2)开始就是具体的一些应用,形式比较繁琐,可能会每个开一篇讲解

实际上就是看书看不懂了抄书理解+水水时间

一维运动

  • 定义:一个自由度系统的运动
  • 定常外部条件下,拉格朗日函数的一般形式:

​ 使用笛卡尔坐标时$a(q) = m$

  • (笛卡尔坐标)根据能量守恒定律, 有:

    变形得到:

    分离变量积分得:

  • 由于动能是正值,故运动只能发生在$U(x) <E$的空间区域

    势能等于总能量的点确定了运动边界$U(x)=E$,在满足条件的点处速度为零,故称为转折点

    若运动发生在空间的有限区域内,称为有界运动,即运动区域由两个转折点限定

    若运动区域不受限制或只有单侧限制 ,则称为无界运动

  • 一维有界运动称为振动

    振动周期(两倍的运动时长)为:

    其中$x_1,x_2$为方程$U(x)=E$的根

e.g.求平面单摆(质量为$m$,摆场为 $l$,在重力场$g$中运动)振动周期和振幅之间的函数关系

  • 已知 单摆 的能量为

    其中$\varphi$为绳与竖直方向夹角,$\varphi_0$为最大摆角。

    所以有

    周期为$\varphi$从0到$\varphi_0$的4倍

    令$\sin(\varphi/2)/\sin(\varphi_0/2)=\sin(\xi)$,上面的积分变为

    第一类椭圆积分

    当$\sin(\varphi_0/2)\approx\varphi_0/2<<1$(微振动)时,展开函数$K(k)$可得

    展开式第一项即为平常使用的近似公式

  • 若已知$T(E)$,试确定$U(x)$的形式

    有积分

    将坐标$x$作为$U$的函数,函数$x(U)$是双值的,用$\frac{dx}{dU}dU$代替$dx$,上述积分变为两个积分之和:从$x=x_1$到$x=0$和从$x=0$到$x=x_2$的积分,将这两个区域中的函数$x(U)$分别记作$x=x_1(U)$和$x=x_2(U)$

    显然,对于$U$积分的上下界分别为$E$和$0$,固有

    方程两边同除以$\sqrt{\alpha-E}$,其中$\alpha$为参数,然后对$E$从$0$到$\alpha$积分:

    对$E$的积分是初等积分,其值等于$\pi$,而对$U$的积分是平凡积分,故有

    用$U$替换$\alpha$得

    即已知$T(E)$后我们就能确定$x_2(U)-x_1(U)$,但$U(x)$ 函数本身仍无法确定,故对于给定的周期与能量的关系,存在无穷多条曲线$U=U(x)$,但对于同一个$U$,两个$x$的差值是确定的

    若$x_2(U)=-x_1(U)\equiv x(U)$,则有

二体问题