群论学习笔记

最近看了李新征老师的《群论及其在物理学中的应用导论》,觉得收获颇丰,特别是比起以前看《近世代数》的时候感觉好懂很多,因为是上课的讲义,所以语言也更平易近人,总之就是,终于能看懂了!!!!

所以来整理一下相关的定理和证明,来加深理解

基本定义

  • 群:

    • 定义:

      对于集合$G=\{…,g,…\}$,有群乘法$h·g$,并满足以下性质:

      • 封闭性:$\forall h,g\in G$,有$hg \in G$
      • 结合律:$\forall f,h,g \in G$,有$(fg)h=f(gh)$
      • 单位元:$\forall g\in G$,有$eg= ge = g$
      • 逆元:$\forall g \in G$,$\exists g^{-1}$使得$gg^{-1}=g^{-1}g=e$
    • 有限群和无限群:

      群内元素个数称为群的,当群阶有限时,称为有限群,当群阶无限时,称为无限群

    • $Abel$群:当群乘法满足交换律时,这个群称为$Abel$群

    • 重排定理:

      • 定义:设群$G=\{…,g_\alpha,0…\}$,对于$\forall u \in G$,当$g_\alpha$取遍$G$中所有元素时,$ug_\alpha$给出且仅仅一次给出$G$中的所有元素

      • 一些理解:仅仅一次给出指的是对于$g_\alpha\neq g_\beta$时,必定有$u g_\alpha \neq u g_\beta$

      • 证明:

        • 1.任何$G$中元素都可以由$ug_\alpha$给出:

          $ \forall g_\beta \in G$,令$g_\alpha= u^{-1}g_\beta \in G$,使得$u g_\alpha=u(u^{-1}g_\beta)=g_\beta$

        • 2.$u g_\alpha$给出且仅仅一次给出$G$中的所有元素(反证法):

          设存在$g_\alpha \neq g_\beta$,使得$u g_\alpha=u g_\beta$,那么就有$u^{-1}u g_\alpha=u^{-1}u g_\beta$,则$g_\alpha = g_\beta$,与假设矛盾

      • 应用:很多证明时的形式为构造群$G$和$v^{-1}u$,若$v^{-1}u \in G$,则根据重排定理$v^{-1}uG=G$,故$uG=vG$

  • 子群:

    • 定义:设$H$是群$G$的一个子集,若对于与$G$相同的乘法,$H$也构成一个群,则称$H$是$G$的一个子群
    • 一些理解:证明子集为子群时,只需证明对于子集封闭性和逆元成立
    • $\{e\}$和$G$是$G$本身的显然子群,其非显然子群称为固有子群

    • 群元的阶:对于任意一个有限群$G$从中取出一个元素$a$,从$a$出发作幂操作总能构成$G$的一个循环子群$Z_k=\{a、a^2、…、a^{k-1}、a^k=e\}$,满足这个定义的最小的$k$称为群元$a$的阶

  • 陪集:

    • 定义:设$H$是$G$的子群,$H=\{h_\alpha\}$,由固定的$g \in G$,可生成子群$H$的左陪集$gH=\{g h_\alpha|h_\alpha \in H\}$或右陪集$Hg=\{h_\alpha g|h_\alpha \in H\}$

    • 一些理解:

      • 当$H$是有限子群时,陪集元素个数等于$H$的阶
      • 陪集可以为子集本身(取$g \in H$)
    • 陪集定理:

      • 定义:设群$H$是群$G$的子群,则$H$的两个左(或右)陪集要么完全相等,要么没有任何公共元素

      • 证明(反证法):

        设$uH$、$vH$为群$G$的子群$H$的不同左陪集

        再设$uH$与$vH$中间有一个公共元素$u h_\alpha=v h_\beta$,则$ v^{-1} u h_{\alpha}= h_\beta$,进而$v^{-1}u=h_\beta h^{-1}_\alpha$,故$v^{-1}u \in H$

        由重排定理可知,$v^{-1}uH=H$,则$uH=vH$,与假设矛盾

    • 拉格朗日$(Lagrange)$定理:

      • 定义:有限群子群的阶,必为群阶的因子

      • 感性证明:

        设有群$G$,及其子群$H$,G的阶为$n$,$H$的阶为$m$,则$H$自身为一个陪集

        由陪集定理可知,可取$u_1 \in G$且$u_1 \notin H$使得陪集$u_1H$与$H$无公共元素,但陪集$u_1H $的阶与$H$相同,都为$m$,以此类推,可由子群$H$构造出$n/m$个不同的,且两两均无公共元素,能将$G$中的元素穷尽。数$n/m$必定是个整数,故$m$是$n$的因数

  • 类:

    • 定义:群$G$中所有相互共轭的元素形成的集合

    • 共轭:

      • 定义:对于$f、h \in G$,如果在$G$中存在一个$g$,使得$gfg^{-1}=h$,则称$f、h$共轭,记作$f \sim h$
      • 相互:$gfg^{-1}=h$,则$g^{-1}hg=f$,即$g^{-1}h(g^{-1})^{-1}=f$,因为$g^{-1} \in G$,故$h \sim f$
      • 传递性:
    • 对于一个类中任意一个元素$f$,取任意$g \in G$,则$gfg^{-1}$一定在这个类中,当$g$取遍$G$时就能得到整个类

一些实例

  • 空间反演群:$\{E,I\}$

    对于三维欧氏空间中的任一向量$\vec{r}$,$E$作用其上得到$\vec{r}$本身,$I$作用其上得到$-\vec{r}$

  • n阶置换群

​ 将$1、2、…、n$对应到$m_1、m_2、…、m_n$上,其中$m_1、m_2、…、m_n$是$1、2、…、n$的任意排列

​ 所有$P$的集合构成一个群,群元个数是$n!$

  • $D_3$群

    三角形

    $e$ :不动
    $d$ :绕$z$轴转$2\pi/3$
    $f$ :绕$z$轴转$4\pi/3$
    $a$ :绕$1$轴转$\pi$
    $b$ :绕$2$轴转$\pi$
    $c$ :绕$3$轴转$\pi$

    $\{e,d,f,a,b,c\}$是图形中的三角形的纯转动群

  • 加法群:当定义群乘法为数的加法时,全体整数\实数\复数在该乘法规则下构成一个群

  • n阶循环群:$\{a、a^2 、… 、a^{n-1}、a^n=e\}$ 是$Abel$群

  • $SO(3)$群是绕空间中某一点(过这一点可以有无数条不同的轴)转动的元素的群

    绕固定轴$\vec{k}$转动的元素组成的群$\{C_{\vec{k}}(\Psi)\}$是其子群